Зачастую нам кажется, что раз в космосе вакуум и невесомость, значит двигатель космического аппарата – это единственная действующая на него сила. Но в реальности главной силой почти всегда является притяжение планеты, на орбите которой аппарат находится, а потому результаты работы его двигателя оказываются контринтуитивными. Давайте в этом разберёмся.

Орбита космического аппарата определяется Кеплеровыми элементами. И этих элементов орбиты есть целых шесть штук:

1. большая полуось
2. эксцентриситет
3. наклонение
4. долгота восходящего узла
5. аргумент перицентра
6. средняя аномалия

Но говорить мы тут будем только о двух параметрах: высоте над поверхностью Земли и наклонении орбиты. Причём высота будет считаться не относительно поверхности в конкретной точке, а относительно среднего радиуса Земли, равного 6371 км. Т.е. Земля будет считаться идеальным шаром. Да и сами орбиты будем по большей части круговыми считать. Наша задача лишь в том, чтобы понять, как в принципе совершаются орбитальные манёвры, а не в том, чтобы совершить манёвр в реальности, поэтому подобное упрощение вполне уместно.

Ещё одно упрощение даёт нам сама жизнь… На практике орбитальное маневрирование делится на два диаметрально противоположных случая: маневрирование двигателями большой тяги (ЖРД) и маневрирование двигателями малой тяги (плазменными, ионными и т.п.). В первом случае двигатель в момент манёвра становится главной действующей силой. Но именно в момент! Т.е. его воздействие кратковременно, в разы короче времени, необходимого на один виток по орбите, можно считать, что он мгновенно меняет скорость космического аппарата. Во втором случае двигатель может работать днями, месяцами и даже годами, но его тяга абсолютно ничтожна по сравнению с притяжением планеты, являясь лишь малой поправкой к ней. Самым сложным для расчёта был бы случай длительной (несколько витков вокруг планеты или более) работы двигателя с тягой, соизмеримой с силой притяжения, но на наше счастье (ну или несчастье, как посмотреть) такое почти никогда не встречается.

Для начала рассмотрим наиболее простой случай – большую тягу. И попробуем с её помощью поднять высоту нашей круговой орбиты.

Посмотрите на рисунок выше. Сначала мы находимся на круговой орбите, обозначенной зелёным. Затем мы мгновенно импульсом увеличиваем свою скорость на величину ΔV. Наша орбита перестаёт быть круговой, становится эллиптической. В той точке, где мы находились в момент включения двигателя, у этой орбиты перигей – ближайшая к Земле точка, а через половину витка будет апогей – наиболее удалённая от Земли точка. По мере удаления от Земли, преодоления её гравитации, наша скорость будет падать, и в апогее станет относительно небольшой, мы начинаем приближаться назад к Земле, при этом ускоряя своё движение, пока не достигнем нижней точки, где скорость снова будет велика. Но мы не дадим аппарату начать двигаться к Земле! В апогее мы снова включим двигатель и импульсом ΔV` ускорим движение спутника, чтобы он перешёл на круговую орбиту, обозначенную красным. Жёлтым же обозначена та самая Гомановская траектория – половинка эллиптической орбиты, соединяющая две круговые.

Насколько нам нужно изменить скорости во время первого и второго включения двигателей? Для начала посчитаем скорости V₁ и V₂ движения спутника на начальной и на конечной круговой орбитах. Скорость орбитального движения вокруг Земли считается очень просто: V = 631324/SQRT(H+6371)

SQRT, если что, это квадратный корень. V – скорость в м/с, H – высота орбиты в километрах.

Для высоты 180 км (фактически минимальная возможная стабильная орбита) получим почти идеально точно 7800 м/с. А для 575 км, например – 7575 м/с.

Теперь считаем собственно манёвр… Сначала нам нужно, просто для удобства, посчитать определённую промежуточную величину V_p = SQRT((V₁²+V₂²)/2)

Ну а теперь ΔV = V₁(V₁/V_p – 1) и ΔV` = V₂(1 – V₂/V_p)

Вот так мы и увеличиваем (или уменьшаем, если тормозить, а не разгонять, космический аппарат) высоту орбиты с помощью двигателей большой тяги. Обязательно двумя включениями двигателя.

Для примера, чтобы со 180 км подняться до 575 км нужно будет сделать импульсы на 113,3 м/с и 111,7 м/с. Суммарно двигатель должен будет изменить скорость на 225 м/с.

Интересно, что величину импульсов, выдаваемых двигателем, можно посчитать и другим путём, через отношение радиусов орбит. И если воспользоваться таким методом, то можно получить интересные графики:

Начиная с соотношения радиусов орбит, равного где-то так 6, величина второго импульса, когда мы разгоняемся для выхода на конечную круговую орбиту, начинает снижаться. А при соотношении радиусов орбит, равного примерно 15, рост высоты конечной орбиты приводит к снижению уже суммарной величины обоих импульсов! При очень большом отношении радиусов начальной и конечной орбит становится выгодной так называемая би-эллиптическая траектория, когда мы сначала поднимаемся очень высоко, а затем – спускаемся на нужную высоту:

Здесь у нас сразу три импульса работы двигателя, но парадоксальным образом они все в сумме меняют скорость космического аппарата меньше, чем всего два импульса Гомановской траектории, при этом давая тот же конечный эффект. Впрочем, выигрыш тут очень мал (на графике видно, что суммарная величина delta-V снижается крайне медленно), а вот время, которое требуется для манёвра, возрастает очень сильно. Поэтому такую траекторию используют крайне редко.

Теперь попробуем сменить наклонение… Если что, наклонение – это угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора.

Спутник подлетает к одной из точек пересечения орбитой плоскости экватора. В этот момент у него есть скорость V_i. Напомню, что скорость является величиной векторной, т.е. у неё есть направление. В данном случае это направление – касательная к данной точке исходной орбиты. После манёвра спутник должен оказаться на конечной орбите, где у него будет скорость V_f. По величине она такая же, т.к. высоту орбиты мы не меняли. Однако направление изменится, теперь это будет касательная к той же точке, но новой орбиты. Чтобы V_i превратилась в V_f нам нужно прибавить к ней вектор ΔV. Двигатель должен будет сделать именно это, придать спутнику приращение скорости ΔV. Из тригонометрии понятно, что ΔV = 2*V_i*sin(Δi/2).

Сделаем расчёт для примера. Допустим, у нас исходная орбита имеет высоту 575 км и наклонение 90°, мы на полярной орбите. И мы хотим сменить наклонение так, чтобы оно стало равно 97,66°, повернуть плоскость всего на 7,66°. С такой высотой и таким наклонением орбита станет так называемой солнечно-синхронной. Импульс двигателя должен будет изменить скорость на… 1012 м/с!

Не сложно заметить, что даже весьма незначительное, казалось бы, изменение наклонения требует очень и очень большой delta-V. Напомню, что подъём орбиты с 180 до 575 км требовал всего 225 м/с. Впрочем, мы можем перейти с круговой орбиты на эллиптическую, в апогее совершить манёвр смены наклонения, а в перигее вновь сделать орбиту круговой с той же высотой, что была изначально. Таким образом можно сэкономить несколько процентов delta-V. Правда, как и в случае с би-эллиптической траекторией, только ценой значительного увеличения времени манёвра, а также увеличения числа включений двигателя, которое у ЖРД не редко бывает ограниченным.

Ну что же, с манёврами на большой тяге разобрались, теперь пора переходить к малой…

Ускорение, создаваемое плазменными, ионными и прочими двигателями малой тяги, составляет сильно менее 1 мм/с² (именно миллиметр, а не метр). Ни о какой возможности использовать Гомановскую траекторию тут речи не идёт, ведь на небольшом участке орбиты двигатель не сможет изменить скорость и на 0,1 м/с, а для большинства манёвров нужно изменение на десятки и сотни метров в секунду. Подъём или спуск орбиты осуществляется очень длительной непрерывной работой двигателя. Он всё время создаёт тягу строго вдоль направления полёта космического аппарата, стараясь его разогнать (для подъёма) или затормозить (для спуска). Из-за этого спутник начинает двигаться вокруг Земли не по кругу, а по спирали.

Запас характеристической скорости для такого манёвра считается весьма просто: нужно из скорости орбитального движения по первой орбите, V₁, вычесть скорость движения по второй, конечной орбите, V₂. Для подъёма со 180 км до 575 км это будет 7800-7575 = 225 м/с.

Этот пример может создать впечатление, что необходимый запас характеристической скорости, delta-V, не зависит от того, какая у нас тяга. Увы, но это не так…

Даже без использования би-эллиптической траектории двигатели большой тяги всегда требуют меньше delta-V. Просто в нашем примере эта разница составляет менее 0,1 м/с. Но при очень больших изменениях орбиты разница может доходить до полутора раз и даже более.

Кстати, обратили внимание: двигатель в нашем примере всё время разгонял космический аппарат, но его скорость в итоге стала на 225 м/с меньше? Дело тут в том, что как только спутник переходит от движения по кругу к движению по раскручивающейся спирали, угол между его скоростью и силой земного тяготения перестаёт быть равным 90°. У силы гравитации появляется небольшая, но ненулевая проекция на направление движения аппарата. Вот она-то и тормозит спутник. Пока угол раскручивания спирали достаточно мал, чтобы мы могли считать, что синус угла примерно равен самому углу (измеренному в радианах, конечно), проекция силы тяжести на направление движения аппарата будет ровно вдвое превышать тягу двигателя, а потому спутник будет ровно настолько сильно замедляться, насколько сильно он ускорялся бы, не будь силы гравитации.

Ну ладно, высоту орбиты мы сменили, а что там с наклонением? Тут, как ни странно, нет серьёзных отличий от случая с двигателями большой тяги. Мы всё также используем двигатель возле точек пересечения орбитой экватора, но на сей раз поворачиваем орбиту не за один раз, а за несколько, используем множество промежуточных орбит. Двигатель работает где-то 5-10% орбитального периода до подлёта к экватору и ещё те же 5-10% – после его пересечения. Учитывая две точки пересечения экватора орбитой, получаем, что двигатель работает ориентировочно 20-40% времени полёта.

Ну а какова характеристическая скорость манёвра смены наклонения? Как минимум она равна произведению орбитальной скорости на угол поворота орбиты Δi, измеренный в радианах: ∆V=V*∆i

Увы, но такой низкой эта величина будет если двигатель работает только точно над экватором. А в таком случае манёвр займёт бесконечно много времени… По мере удаления от экватора эффективность работы двигателя снижается, а потому на практике потребуется delta-V где-то на 10% больше, чем даёт эта формула.

Возвращаясь к примеру со спутником на орбите высотой 575 км, которую мы хотим повернуть на 7,66° (0,1337 радиана), получим оценку delta-V на уровне 1114 м/с.

Вновь двигатели малой тяги требуют больше delta-V, чем двигатели большой тяги. Впрочем, больше только на десятки процентов, в то время как удельный импульс плазменных и ионных двигателей в разы выше такового у ЖРД.